まず、化学反応式を書きましょう。
酸化マンガン（Ⅳ）は触媒なので、反応式中には書かなくてOKです。
 ２H_２O_２ → ２H_２O ＋ O_２

（１）溶液（過酸化水素水）１０ｇ中の溶質（H_２O_２）は、
　１０ｇ × （３．４／１００） ＝ ０．３４ｇ
（２）これは何mol？（H_２O_２ ＝ ３４ｇ／mol）
　０．３４ｇ ÷ ３４ｇ／mol ＝ ０．０１mol
（３）この H_２O_２ から発生する H_２ は何mol？（反応式の係数を見て）
　０．０１mol × （１／２） ＝ ０．００５mol
（４）この H_２ は何リットル？
　２２．４ × ０．００５ ＝ ０．１１２ ≒ ０．１１L
　∴答えは②

さて、（１）、（２）、（３）、（４）でそれぞれ計算して１回ずつ答えを出さずに
次のように１行で式を書いて、約分していくと、超！簡単に計算ができます！
　１０ × （３．４／１００） × （１／３４） × （１／２） × ２２．４ ＝ ０．１１２L
「３４で割る」のを 「× （１／３４）」とするのは１行の式中に入れる工夫です。覚えて下さい。
特にセンター入試では、このやり方で計算が楽になるケースが非常に多いです。
このような量関係の問題を解く時にはぜひ、式を１行で書くよう意識して下さい。